Question

如图如示，三台机器人M₁、M₂、M₃和检测台M（M与M₁、M₂、M₃均不能重合）位于一条直线上，三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序设定：当M₁把零件送达M处时，M₂即刻自动出发送检；当M₂把零件送达M处时，M₃即刻自动出发送检．设M₂的送检速度υ，且送检速度是M₁的2倍，是M₃的3倍．
（1）求三台机器人M₁、M₂、M₃把各自生产的零件送达检测台M的时间总和；
（2）现要求三台机器人M₁、M₂、M₃送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上的位置．

Answer 1

分析：（1）如图是一个数轴，可以得到各个点到原点0的距离，这是我们设M₂的送检速度为v，可以求出M₁、M₃、的速度，根据速度与时间、路程的关系，求出三台机器人M₁、M₂、M₃把各自生产的零件送达检测台M的时间总和；
（2）设x为检测台M的位置坐标，则三台机器人M₁、M₂、M₃与检测台M的距离分别可求出，根据时间=

路程

速度

，得到各自的生产零件送达检测台M处的时间总和为，得到分段函数f（x），根据分段函数的性质进行求解；

解答：解：（1）由已知得检测台M的坐标为0，
则机器人，M₁、M₂、M₃、与检测台M的距离分别为2、1、3；
设M₂的送检速度为v，则M₁的送检速度为

1

2

v，M₃的送检速度为

1

3

v，故三台机器人M₁，M₂，M₃，
按程序把各自的生产零件送达检测台M处的时间总和为：y=

v

2

×2+1×v+

v

3

×3=3v．
（2）设x为检测台M的位置坐标，则三台机器人M₁、M₂、M₃与检测台M的距离分别为|x-（-2）|、|x-1|、|x-3|．
于是三台机器人M₁、M₂、M₃，按程序把各自的生产零件送达检测台M处的时间总和为，
y=

1

2

v|x-（-2）|+

|x-1|

v

+

1

3

v|x-3|=

1

v

（2|x+2|+|x-1|+3|x-3|）
下面求f（x）=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值，
∴f（x）=

-6x+6(x＜-2) -2x+14(-2≤x＜1) 12             (1≤x＜3) 6x-6        (x＞3)

，由分段函数性质：
当x∈[1，3]时，有f（x）_min=12，即送检时间总和最短为

12

v

，
又检测台M与M₁，M₂，M₃，均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人M₂和M₃，之间的任何位置（不含M₂，M₃的位置）
都能使个各机器人M₁、M₂、M₃的送检时间总和最短；

点评：此题主要考查分段函数的性质及其应用，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；