Question

袋中装有4个黑球和3个白球共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．
（Ⅰ）求恰好取球3次的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；
（Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知每个球在每一次被取出的机会是等可能的，直到两人中有一人取到白球时即终止，看出试验包含的所有事件数和满足条件的事件数，得到概率．
（2）用ξ表示取球终止时所需的取球次数，共有4个黑球，所以最多取5次结束，得到变量的取值，看出变量对应的事件，类似于上一问得到分布列．
（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知每个球在每一次被取出的机会是等可能的，
直到两人中有一人取到白球时即终止
∴恰好取球3次的概率P1=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

；
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为1、2、3、4、5，
P(ξ=1)=

3

7

，P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

，
P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

，
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

，
P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

．
∴取球次数ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

（Ⅲ）∵甲先取，
∴甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．
记“甲取到白球”的事件为A．
则P（A）=P（“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”）．
∵“ξ=1”、“ξ=3”、“ξ=5”对应的事件两两互斥，
∴P（A）=P（ξ=1）+P（ξ=3）+P（ξ=5）=

3

7

+

6

35

+

1

35

=

22

35

．
∴恰好甲取到白球的概率为

22

35

．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．