Question

已知数列{x_n}的首项x₁=3，通项x_n=2ⁿp+nq（n∈N^*，p，q为常数），且x₁，x₄，x₅成等差数列．求：
（Ⅰ）p，q的值；
（Ⅱ）数列{x_n}前n项和S_n的公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x₁=3，求得p，q的关系，进而根据通项x_n=2ⁿp+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．
（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵x₁=3，
∴2p+q=3，①
又x₄=2⁴p+4q，x₅=2⁵p+5q，且x₁+x₃=2x₄，
∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，②
联立①②求得 p=1，q=1
（Ⅱ）由（1）可知x_n=2ⁿ+n
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=2n+1-2+

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．