题目内容

已知圆：，抛物线以圆心为焦点，以坐标原点为顶点．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

⑴求抛物线的方程；

⑵设圆与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线的切线与轴的交点为，动点到、两点距离之和等于，求的轨迹方程．

 

解析：⑴圆的圆心……1分，设抛物线：……2分

……3分，所以，所求抛物线的方程为或……4分．

⑵由方程组……5分，依题意解得……5分，

抛物线即函数的图象，当时，切线的斜率……6分，

切线为，即……7分，

时，，所以……8分．

       的轨迹是焦点在轴的椭圆，设它的方程为……10分，

       则，……13分，解得，，的轨迹方程为……12分．

 

练习册系列答案
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已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（-1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（　　）
A、
x2
4
-
y2
3
=1(x≠0)
B、
x2
4
+
y2
3
=1(x≠0)
C、
x2
4
+
y2
3
=1(y≠0)
D、
x2
4
-
y2
3
=1(y≠0)

（本小题满分14分）

已知圆：，抛物线以圆心为焦点，以坐标原点为顶点．

⑴ 求抛物线的方程；

⑵ 设圆与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线的切线与轴的交点为，动点到、两点距离之和等于，求的轨迹方程．

（本小题满分14分）

已知圆：，抛物线以圆心为焦点，以坐标原点为顶点．

⑴ 求抛物线的方程；

⑵ 设圆与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线的切线与轴的交点为，动点到、两点距离之和等于，求的轨迹方程．

已知点（）,过点作抛物线的切线，切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）若，求与的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的方程；

（Ⅲ）若直线的方程是，且以点为圆心的圆与直线相切，

求圆面积的最小值．

【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。

中∵直线与曲线相切，且过点，∴，利用求根公式得到结论先求直线的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。

（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，借助于函数的性质圆面积的最小值

（Ⅰ）由可得，．  ------1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或， --------------------3分

同理可得：，或----------------4分

∵，∴，． -----------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则的斜率，

∴直线的方程为：，又，

∴，即． -----------------7分

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，--------------8分

故圆的面积为． --------------------9分

（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即，    ………10分

∴

，

当且仅当，即，时取等号．

故圆面积的最小值．

 

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