题目内容
已知函数,
,
图象与
轴异于原点的交点M处的切线为
,
与
轴的交点N处的切线为
, 并且
与
平行.
(1)求的值;
(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;
(3)令,给定
,对于两个大于1的正数
,
存在实数满足:
,
,并且使得不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】
(1)2;(2);(3)(0,1).
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用,利用导数来求解函数的最值和不等式的恒成立问题的运用。
解: 图象与x轴异于原点的交点M(A,0),
图象与x轴的交点N(2,0),
由题意可得,即a=1, ………………………………………………2分
∴,
…………………………………………3分
(2)
令,在
时,
,
∴在
单调递增,
…………………………5分
图象的对称轴,抛物线开口向上
①当即
时,
…………………………………6分
②当即
时,
……………………7分
③当即
时,
…………………8分
(3)
,
所以在区间
上单调递增
…………………………………………9分
∴时,
①当时,有
,
,
得,同理
, ………………………10分
∴ 由f(x)的单调性知
、
与题设不符 ……………………………………12分
③当时,同理可得
,
与题设不符. ………………………13分
∴综合①、②、③得
……………………………………14分

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