Question

（1）证明：AB⊥A₁C
（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°，可知AB⊥AC，而A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，根据线面垂直的性质可知AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面A₁ACC₁，又A₁C?平面A₁ACC₁，从而AB⊥A₁C；
（2）以A为坐标原点，AB，AC，AA₁，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标，分别求出平面ABC的一个法向量和平面A₁BC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：证明：（I）∵AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
∴A₁A⊥平面ABC，而AB?平面ABC
∴AB⊥A₁A，又AC∩A₁A=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁，而A₁C?平面A₁ACC₁，
∴AB⊥A₁C；
解：（II）建立如图所示的空间坐标系
由AB=1，AC=AA₁=，得
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A₁（0，0，）
由A₁A⊥平面ABC，可得=（0，0，）是平面ABC的一个法向量
设=（x，y，z）是平面A₁BC的一个法向量，由=（-1，，0），=（1，0，-）
可得，即
令x=，则=（，1，1）
设二面角A₁-BC-A的平面角为θ
则cosθ===
点评：本题考查的知识点是二面角的求法，线面垂直的判定与性质，（1）的关键是熟练掌握空间线面垂直与线线垂直的相互转化，（2）的关键是建立坐标系，将二面角转化为向量夹角．