题目内容

椭圆 $数学公式$ 中，F₁、F₂为左、右焦点，A为短轴一端点，弦AB过左焦点F₁，则△ABF₂的面积为

A.
3
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
4

D
分析：先判断△AOF₁是等腰直角三角形，△AOF₂也是等腰直角三角形，从而△F₁AF₂也是等腰直角三角形，故可得∠BAF₂=90°，设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2 $\text{[math]}$ ，利用勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，可求得x= $\text{[math]}$ ，从而可求△ABF₂的面积．
解答：由题意，a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，|OA|=|OF₁|= $\text{[math]}$ ，
∴△AOF₁是等腰直角三角形，同理△AOF₂也是等腰直角三角形，
∴△F₁AF₂也是等腰直角三角形，
∴|F₁A|=|F₂A|= $\text{[math]}$ ，
∴∠BAF₂=90°，
设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2 $\text{[math]}$ ．
根据勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，
（ $\text{[math]}$ +x）²+（ $\text{[math]}$ ）²=（2 $\text{[math]}$ -x）²，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABF2= $\text{[math]}$ |AB|×|AF₂|= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ =4．
故选D．
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆焦点三角形的面积，解题的关键是求出判断出∠BAF₂=90°．