题目内容

设△ABC的BC边上的高AD=BC，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．
（1）求 $数学公式$ 的最小值及取得最小值时cosA的值；
（2）把 $数学公式$ 表示为xsinA+ycosA的形式，判断 $数学公式$ 能否等于 $数学公式$ ？并说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ ，即b=c，即三角形是等腰三角形时，取得最小值2；
此时b=c= $\text{[math]}$ ，由余弦定理得cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，cosA=2cos² $\text{[math]}$ -1=2× $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ （5分）
（2）∵S_△= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ φ）≤ $\text{[math]}$ ，其中tanφ=2，φ∈ $\text{[math]}$ ，当且仅当A+φ= $\text{[math]}$ ，即cosA=sinφ= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得 $\text{[math]}$ ．
因为△ABC的BC边上的高AD=BC，所以b＞a，c＞a同时成立，所以a是最小的边，A∈ $\text{[math]}$ ，所以cosA∈ $\text{[math]}$
∵cosA=sinφ= $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 能取得 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）直接利用基本不等式求最值，利用余弦定理得cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可求cosA的值；
（2）利用S_△= $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再利用辅助角公式化简，即可得到结论．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查利用辅助角公式化简三角函数，解题的关键是正确运用三角函数，属于中档题．