Question

设关于x的方程x²-（m+i）x-（2+i）=0，m是实数；
（1）若上述方程有实根，求出其实根以及此时实数m的值；
（2）证明：对任意实数m，方程不存在纯虚数根．

Answer 1

分析：（1）若上述方程有实根，由复数相等的条件可以得到关于实数x与实数m的方程，解出即可
（2）可用反证法证明之，假设存在纯虚根，解出矛盾即说明不存在纯虚根．

解答：解：（1）若方程有实根，将方程变为i（-x-1）+x²-mx-2=0由此得

-x-1=0 x 2-mx-2=0

解得

x=-1 m=1

（2）证明：假设存在纯虚根，令x=bi，b≠0
则有-b²-mbi+b-2-i=0，即有

-b2+b-2=0   ① -mb-1=0      ②

由于①无解
故假设不成立，对任意实数m，方程不存在纯虚数根．

点评：本题考查复数的相等等基本概念，求解本题关键是掌握好复数相等的充要条件，以及反证法的思想．