Question

如图，在△AGF中，∠AGF是直角，B是线段AG上一点，以AB为直径的半圆交AF于D，连接DG交半圆于点C，延长AC交FG于E．
（I）求证D、C、E、F四点共圆；
（II）若

GE

GB

=

3

2

，求

2•GA

GF

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BC，通过AB是直径，∠AGF是直角，推出E、B、C、G四点共圆，利用圆周角相等∠CEG=∠CDF，证明D、C、E、F四点共圆；
（Ⅱ）利用相交弦定理，以及已知条件直接推出

2•GA

GF

的值即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接BC，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，
∵∠AGF是直径，∴E、B、C、G四点共圆，
∴∠ABC=∠CEG．
∵A、B、C、D四点共圆．∴∠ABC=∠CDF，
∴∠CEG=∠CDF，即D、C、E、F四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D、C、E、F四点共圆，∴CE•GF=GC•GD，
又∵A、B、C、D四点共圆，∴GB•GA=GC•GD，∴GE•GF=GB•GA，
即

GA

GF

=

GE

GB

，

GE

GB

=

3

2

，
∴

2•GA

GF

=3．

点评：本题考查四点共圆的判断方法，相交弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．