Question

如图，三角形ABC是直角三角形，C=90°，边AC、BC的中点分别是E、D，若

CA

=

a

，

CB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=2.0
（1）分别用向量

a

、

b

表示

AD

和

BE

；
（2）计算AD、BE所成钝角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）利用向量的减法，即可用向量

a

、

b

表示

AD

和

BE

；
（2）由C=90°，可得

a

•

b

=0，设AD、BE所成的钝角为θ，利用向量的数量积，即可求得AD、BE所成钝角的大小．

解答：解：（1）

AD

=

CD

-

CA

=

1

2

b

-

a

；（2分）

BE

=

CE

-

CB

=

1

2

a

-

b

（2分）
（2）∵C=90°，∴

a

•

b

=0
设AD、BE所成的钝角为θ
∵|

AD

|=

5

，|

BE

|=

5

（2分）
∴cosθ=

AD • BE

| AD || BE |

=

( 1 2 b - a )•( 1 2 a - b )

| AD || BE |

=-

4

5

＜0，
∴θ=π-arccos

4

5

．
所以AD、BE所成钝角的大小为π-arccos

4

5

（2分）

点评：本题考查向量的运算，考查向量的夹角，正确运用向量的数量积是关键．