Question

（1）圆O是△ABC的外接圆，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点D，CD=2

7

，AB=BC=3，求BD以及AC的长．
（2）已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C₂的极坐标方程为θ=

π

4

，曲线C₁，C₂相交于A，B两点
（I）把曲线C₁，C₂的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（II）求弦AB的长度．
（3）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer 1

分析：（1）结合线割线定理，我们可以求出DB的长，再由△DBC∽△DCA根据相似三角形的性质可以求出AC的长；
（2）（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线C₂及曲线C₁的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度；
（3）左边减去右边等于2（ab+bc-ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c＞b，进而推出2（ab+bc-ac ）＞0，从而证得不等式成立．

解答：（1）解：由切割线定理得：DB•DA=DC²，即DB（DB+BA）=DC²，
∴DB²+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴

BC

CA

=

DB

DC

，
∴AC=

BD•DC

DB

=

3 7

2

；
（2）解：（Ⅰ）曲线C₂：θ=

π

4

表示直线y=x，曲线C₁：ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，所以x²+y²=6x，即（x-3）²+y²=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离d=

3 2

2

，r=3，
∴弦长AB=2

9- 9 2

=3

2

（3）证明：∵a²+b²+c² -（a-b+c）²=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，
∴b² =ac＜（

a+c

2

）²，
开方可得

a+c

2

＞b，故 a+c＞2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b² ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a²+b²+c² -（a-b+c）²＞0，
∴a²+b²+c²＞（a-b+c）² ．

点评：本题考查选讲知识，考查几何证明选讲，考查极坐标方程，考查不等式的证明，综合性强．