题目内容
(本小题8分)已知函数,
,其中
.
(1) 设函数.若
在(0,3)上有零点,求
的取值范围;
(2)设函数是否存在
,对任意给定的非零实数
,存在惟一的非零实数
(
),使得
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)(2)
【解析】解:(1)因在(0,3)上有且只有一个零点,所以
在
上有实数解,且无重根,由
得
w.w.w.zxxk.c.o.m
,令
有
,记
则
在
上单调递减,在
上单调递增,所以有
,于是
,得
,而当
时有
在
上有两个相等的实根
,故舍去,所以
;
(2)当时有
;
当时有
,因为当
时不合题意,因此
,
下面讨论的情形,记A
,B=
(ⅰ)当
时,
在
上单调递增,所以要使
成立,只能
且
,因此有
;(ⅱ)当
时,
在
上单调递减,所以要使
成立,只能
且
,因此
,综合(ⅰ)(ⅱ)
;
当时A=B,则对于所有的
,即存在
使得
成立,因为
在
上单调递增,所以
的值是唯一的;
同理, ,即存在唯一的非零实数
,要使
成立,所以
满足题意.

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