Question

冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等．
（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，易得P（A）=，即前6次中甲种饮用4瓶，乙种已饮用2瓶，第7次取出的为甲种饮料的概率，进而由n次独立重复事件恰好发生k次的概率与相互独立事件概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用，由互斥事件的概率加法公式计算可得答案．
解答：解：（1）记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则p=P（A）=．
由题意知，若甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶，
则前6次中甲种饮用4瓶，乙种已饮用2瓶，第7次取出的为甲种饮料，
其概率P=C₆⁴⁴（1-）²×=C₆⁴（）⁷=．
（2）有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用，
设其概率分别为P₁、P₂、P₃，
所求概率为P=P₁+P₂+P₃=C₆⁵⁵（1-）+C₅⁵⁵+C₄⁴⁴=．
答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为．
点评：本题考查n次独立重复事件恰好发生k次的概率，是高考热点，要求学生会熟练运用．