题目内容

当曲线y=1+
4-x2
与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）
分析：将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（-2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．
解答：解：化简曲线y=1+
4-x2
，得x2+（y-1）2=4（y≥1）
∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．
∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k（x-2），
∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．
又∵半圆y=1+
4-x2
与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点，
∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（-2，1），
当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，
直线与半圆有两个相异的交点．
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足
|-1-2k+4|
k2+1
=2，
解之得k=
5
12
，即kAD=
5
12
．
又∵直线AB的斜率kAB=
4-1
2+2
=
3
4
，∴直线的斜率k的范围为k∈(
5
12
，
3
4
]．
故选：C
点评：本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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π
4
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π
4
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1
3
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3
2
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当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k的取值范围是

[     ]

A．
B．
C．
D．

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