Question

已知关于x的函数f(x)＝＋bx²＋cx＋bc,其导函数为f⁺(x).令g(x)＝f⁺(x) ,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

   (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：

  （Ⅱ）若b>1,证明对任意的c,都有M>2   

   (Ⅲ)若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

Answer 1

（I）解析：，由在处有极值

可得

解得或

若，则，此时没有极值；

若，则

 

当变化时，，的变化情况如下表：

				1
		0	+	0
		极小值		极大值

当时，有极大值，故，即为所求。

（Ⅱ）证法1：

当时，函数的对称轴位于区间之外。

在上的最值在两端点处取得

故应是和中较大的一个

即

证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

在上的最值在两端点处取得。

故应是和中较大的一个

假设，则

  

将上述两式相加得：

，导致矛盾，

（Ⅲ）解法1：

（1）当时，由（Ⅱ）可知；

（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，    

此时

由有

①若则，

于是

②若，则

于是

综上，对任意的、都有

而当时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为。

解法2：

（1）当时，由（Ⅱ）可知；    

（2）当时，函数的对称轴位于区间内，

此时

  

，即

下同解法1