题目内容

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且

(1)求证:面平面

(2)求二面角的余弦值.

 

【答案】

(1)证明过程详见解析;(2).

【解析】

试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一,先利用面面垂直的性质判断出,从而平面,所以垂直于面内的任意的线,由,判断是等腰直角三角形,所以,所以,利用面面垂直的判定定理得面面垂直,法二,利用空间向量法,通过证明,其它过程与法一相同;第二问,由第一问得到平面的法向量为,而平面的法向量需要计算求出,

,所以,最后用夹角公式求夹角余弦值.

试题解析:(1)解法一:因为面平面

为正方形,平面

所以平面                 2分

,所以是等腰直角三角形,

,即 ,

,且

             

,∴面.          6分

解法二:

如图,

的中点, 连结,.

,  ∴.

∵侧面底面,

平面平面

平面,

分别为的中点,∴,

是正方形,故.

,∴,.

为原点,向量轴建立空间直线坐标系,

则有,,,,,.

的中点, ∴                      2分

 (1)∵,  ∴

,从而,又,,

平面,而平面

∴平面平面.                      6分

(2)由(1)知平面的法向量为

设平面的法向量为,∵

∴由,可得

,则.

,

即二面角的余弦值为,        12分

考点:1.线面垂直;2.空间向量法;3.面面垂直;4.夹角公式.

 

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