题目内容
如图在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面
,且
.
(1)求证:面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明过程详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一,先利用面面垂直的性质判断出,从而
平面
,所以
垂直于面内的任意的线
,由
,判断
是等腰直角三角形,所以
且
,所以
面
,利用面面垂直的判定定理得面面垂直,法二,利用空间向量法,通过
证明
,其它过程与法一相同;第二问,由第一问得到平面
的法向量为
,而平面
的法向量需要计算求出,
,所以
,最后用夹角公式求夹角余弦值.
试题解析:(1)解法一:因为面面
平面
面
为正方形,
,
平面
所以平面
∴
2分
又,所以
是等腰直角三角形,
且,即
,
,且
、
面
,
面
又面
,∴面
面
.
6分
解法二:
如图,
取的中点
, 连结
,
.
∵,
∴
.
∵侧面底面
,
平面平面
,
∴平面
,
而分别为
的中点,∴
,
又是正方形,故
.
∵,∴
,
.
以为原点,向量
为
轴建立空间直线坐标系,
则有,
,
,
,
,
.
∵为
的中点, ∴
2分
(1)∵,
, ∴
,
∴,从而
,又
,
,
∴平面
,而
平面
,
∴平面平面
.
6分
(2)由(1)知平面的法向量为
,
设平面的法向量为
,∵
,
∴由,
,可得
取,则
故
.
∴,
即二面角的余弦值为
,
12分
考点:1.线面垂直;2.空间向量法;3.面面垂直;4.夹角公式.

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