Question

如图是棱长均为2的正四棱锥的侧面展开图，M是PA的中点，则在正四棱锥中，PE与FM所成角的正切值为

2

．

Answer 1

分析：连接AB，CD，相交于O，连接EO，则EO∥PB，∠CEO为两异面直线PB与CE所成角．证明CD⊥平面PAB，可得△COE为直角三角形，解此直角三角形求出PE与FM所成角的正切值．

解答：解：如图，在正四棱锥中，连接AB，CD，相交于O，连接EO，
∵E是PA的中点，
则EO∥PB，∠CEO为两异面直线PB与CE所成角或补角．
由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，故PO⊥CD．
再由正方形ABCD的对角线的性质可得AB⊥CD，
这样，CD垂直于面PAB内的两条相交直线PO和CD，故CD⊥平面PAB，故△COE为直角三角形．
∵OE=1，OC=

2

，CE=

3

，
故tan∠CEO=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，属于中档题．