Question

如图，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A₀(1，1)，过A₀作抛物线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，……，过A_n(x_n，y_n)作抛物线的切线交x轴于
B_n+1(x_n+1，0)，
(1)求{x_n}，{y_n}的通项公式；
(2)设，数列{a_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞2n-；
(3)设b_n=1-log₂y_n，若对任意正整数n，不等式成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)由已知得抛物线方程为y=x²，y′=2x，
则设过点A_n(x_n，y_n)的切线方程为，
令y=0，，故，
又x₀=1，
∴。
(2)由(1)知，
所以

，
由得，
所以，
从而

，
即；
(3)由于，故b_n=2n+1，
对任意正整数n，不等式成立，
即恒成立，
设，
∴，
∴
，
∴f(n+1)＞f(n)，故f(n)递增，
∴，
∴。