Question

如图所示，ABC－A₁B₁C₁为正三棱柱，底面边长为a，D、E分别是BB₁、CC₁上的点且EC＝2BD＝a，求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：取AE的中点O，AC的中点F，连结OF、BF、OD，由条件计算AD＝a，∵四边形BDEC为直角梯形，且EC＝2BD＝a，∴DE＝a，∴DAE为等腰三角形，∴DO⊥AE．

　　又OF∥EC且OF＝EC＝a，∴OF∥BD且OF＝BD，OF⊥BF，

　　∴四边形BDOF是矩形，

　　∴DO⊥OF．

　　又OF∩AE＝O，∴DO⊥平面AA₁C₁C．

　　又DO平面ADE，

　　∴平面ADE⊥平面AA₁C₁C．

提示：

本题的关键在于证明DO⊥平面ACC₁A₁．