Question

(09年山东省实验中学综合测试理)（本小题满分13分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．

   （1）求椭圆的方程；

   （2）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一

        个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，

        请说明理由．

Answer 1

解析：（1）由

    因直线相切，

    ，

    ∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

    形，∴

    故所求椭圆方程为 

  （2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：        

    当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：  

    由

    即两圆相切于点（0，1）

    因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）

    事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．

    当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

    若直线L不垂直于x轴，可设直线L：

    由

    记点、 

   

     

   

    所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）

    所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．