Question

已知对一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），且方程f（x）=0有5个不同的实根，求这五个根的和．

Answer 1

解：由f（x）=f（2-x） 可知 f（1+x）=f（1-x） 函数f（x）关于x=1对称
又∵函数f（x）由5个根，则必有f（1）=0
f（x）=f（2-x）所以很显然f（x）=0时必然有根2-x．
则5个根必然是x₁，2-x₁，x₂，2-x₂，1．
此五个根的和是5．
分析：根据f（x）=f（2-x）可表示出4个根，再由f（1+x）=f（1-x）得到一个根为1，进而得到答案．
点评：本题主要考查抽象函数对称性的问题．这种题属于高考范围内的，关键是抓住方法，对形式进行变化就行了，f（a+x）=f（a-x）都可以变换成f（x）=f（2a-x）是一种典型的轴对称函数的表示方法，对称轴是a．他的特点就是无论f（x）为几，所有的根都对称于x=a 一般根都是偶数个，个数乘以a就行了，奇数个的原因是因为其中一个根是a，2个相等实根导致的…
f（a+x）=-f（a-x）是中心对称函数对称中心（a，f（a））．
而f（x+a）=f（x-a）是周期函数的表示方法，周期是2a…