题目内容
某著名景区新近开发一种旅游纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交3元的税收.设每件纪念品的售价为x元(30≤x≤40),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件纪念品的售价为40元时,销售量为10件.(1)求该景区的日利润L(x)元与每件纪念品的售价x元的函数关系式;
(2)当每件纪念品的售价为多少元时,该景区的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
【答案】分析:(1)根据日销售量与ex成反比例,确定日售量,再结合利润=收入-支出问题可得函数关系式;
(2)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数的最值.
解答:解:(1)设日销售量为
∵每件纪念品的售价为40元时,销售量为10件,
∴
,∴k=10e40,则日售量为
件
∴日利润L(x)=(x-30-3)
=(x-33)
(30≤x≤40),
(2)求导函数,可得L′(x)=
(34-x)
令L′(x)>0,可得30≤x<34;令L′(x)<0,可得34<x≤40
∴函数在[30,34)上,函数单调增,在(34,40]上,函数单调减
∴x=34时,L(x)取极大值,且为最大值,最大值为10e6.
点评:本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,单峰函数极值就是最值,属于中档题.
(2)求导函数,确定函数的单调性,从而可得函数的最值.
解答:解:(1)设日销售量为
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∵每件纪念品的售价为40元时,销售量为10件,
∴
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∴日利润L(x)=(x-30-3)
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(2)求导函数,可得L′(x)=
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令L′(x)>0,可得30≤x<34;令L′(x)<0,可得34<x≤40
∴函数在[30,34)上,函数单调增,在(34,40]上,函数单调减
∴x=34时,L(x)取极大值,且为最大值,最大值为10e6.
点评:本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,单峰函数极值就是最值,属于中档题.
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