题目内容
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离．
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角．
分析：（1）由两组线线垂直即可判定线面垂直，而已有BD⊥PA，所以只需BD⊥AC则可判定BD⊥平面PAC，故a=2即可．
（2）先由平面PBC中的
、
确定它的一个法向量
，然后求出
在法向量
上的投影长，即D点到平面PBC的距离．
（3）先由
与
的夹角确定它们所在直线的夹角，则该角的余角即为直线PD与平面PBC所成的角．
（2）先由平面PBC中的
| PB |
| BC |
| n |
| DC |
| n |
（3）先由
| DP |
| n |
解答：
解：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
（1）当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）当a=4时，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
则
=（0，2，-2），
=（4，0，0），
=（0，2，0）．
设平面PBC的法向量
=（x，y，z），则
•
=0，
•
=0，
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故
=（0，1，1）．
则D点到平面PBC的距离d=
=
．
（3）由（2）知，
=（-4，0，2），
则cos＜
，
＞=
=
＞0，
设＜
，
＞=α，直线PD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=sin（
-α）=cosα=
．
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin
．
解：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，（1）当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）当a=4时，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
则
| PB |
| BC |
| DC |
设平面PBC的法向量
| n |
| n |
| PB |
| n |
| BC |
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故
| n |
则D点到平面PBC的距离d=
|
| ||||
|
|
| 2 |
（3）由（2）知，
| DP |
则cos＜
| DP |
| n |
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
设＜
| DP |
| n |
则sinθ=sin（
| π |
| 2 |
| ||
| 10 |
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查向量法解决立体几何中的距离及夹角问题．
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