Question

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率=频数÷数据总和，计算可得答案．
（2）列出X的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出X的数学期望．

解答：解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9人，
这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18=180人（4分）
由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），所以m=4，
即第六组人数为4人，第七组人数为3人，
频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（x=0）=

C 3 5

C 3 9

=

5

42

，P（x=1）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

20

42

，
P（x=0）=

C 2 4 C 1 5

C 3 9

=

15

42

，P（x=0）=

C 3 4

C 3 9

=

2

42

，
所以X的分布列

X	0	1	2	3
P	5 42	10 21	5 14	1 21

…（10分）
EX=

4

3

…（12分）

点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，同时还考查了古典概型的计算和离散型随机变量的期望与方差．