题目内容

将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数 
1
(n+1)
C
r
n
,就得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼兹三角形.令an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
+…+
1
n
C
n-3
n-1
+
1
(n+1)
C
n-2
n

观察莱布尼兹三角形规律,计算极限
lim
n→∞
an
=
1
2
1
2
分析:由于an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
+…+
1
n
C
n-3
n-1
+
1
(n+1)
C
n-2
n
=
2
1×2×3
+
2
2×3×4
+
2
3×4×5
+
2
n(n-1)(n+1)

=(1×
1
2
-
1
2
×
1
3
)+(
1
2
×
1
3
-
1
3
×
1
4
)+…+
1
(n(n-1)
-
1
n(n+1)
)
,利用分组裂项求和,然后对其求极限
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(
1
2
-
1
n(n+1)
)
即可
解答:解:∵an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
+…+
1
n
C
n-3
n-1
+
1
(n+1)
C
n-2
n

=
2
1×2×3
+
2
2×3×4
+
2
3×4×5
+
2
n(n-1)(n+1)

=(1×
1
2
-
1
2
×
1
3
)+(
1
2
×
1
3
-
1
3
×
1
4
)+…+
1
(n(n-1)
-
1
n(n+1)
)

=(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)
-(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
)

=1-
1
n
-(
1
2
-
1
n+1
)

=
1
2
+
1
n+1
-
1
n
=
1
2
-
1
n(n+1)

lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(
1
2
-
1
n(n+1)
)
=
1
2

故答案为:
1
2
点评:本题主要考查了数列极限的求解,解题的关键是根据题中给出的数列的通项公式,发现其裂项的规律,进而利用分组列项进行求解.
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