题目内容
已知A、B、C是△ABC的三个内角，a，b，c为其对应边，向量
=(-1，
)，
=(cosA，sinA)，且
•
=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若
=(2，1)，
=
，求△ABC的面积S．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若
| AB |
| cosB |
| cosC |
| b |
| c |
分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数；
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到B=C，由A的度数确定出三角形ABC为正三角形，求出
的模，即可确定出等边三角形ABC的面积．
（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到B=C，由A的度数确定出三角形ABC为正三角形，求出
| AB |
解答：解：（Ⅰ）∵
=（-1，
），
=（cosA，sinA），且
•
=1，
∴
sinA-cosA=1，即2（
sinA-
cosA）=2sin（A-
）=1，
∴sin（A-
）=
，
∵0＜A＜π，∴-
＜A-
＜
，
∴A-
=
，即A=
；
（Ⅱ）将
=
利用正弦定理化简得：
=
，即cosBsinC-sinBcosC=0，
∴sin（B-C）=0，
∵B与C为三角形的内角，
∴B=C，
∵A=
，∴B=C=
，即△ABC为等边三角形，
∵|
|=
=
，
∴S=
|
|2=
．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
∴
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴sin（A-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π，∴-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）将
| cosB |
| cosC |
| b |
| c |
| cosB |
| cosC |
| sinB |
| sinC |
∴sin（B-C）=0，
∵B与C为三角形的内角，
∴B=C，
∵A=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵|
| AB |
| 22+12 |
| 5 |
∴S=
| ||
| 4 |
| AB |
5
| ||
| 4 |
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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