题目内容
某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30%，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=
,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证：an+1=
an+
；
(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%？
解：(1)设1999年底沙漠面积为b1,经过n年沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1且an+bn=1.
因为绿洲面积an+1由两部分组成，一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀掉的面积an-an=an;另一部分是新绿洲面积bn,
∴an+1=
an+
bn=
an+
(1-an),
即an+1=
an+
.
(2)∵an+1-
=
(an-
),
∴{an-
}是公比为
的等比数列.
∴an-
=(a1-
)×(
)n-1=-
×(
)n-1.
∴an=
-
×(
)n-1.
令an≤60%＜an+1，即
-
×(
)n-1≤
＜
-
×(
)n,
得(
)n＜
≤(
)n-1,
两边取对数得nlg
＜lg
≤(n-1)·lg
,
则
＜n≤
+1,
=
≈4.1.
∴4.1＜n≤5.1.
答：约经过6年的努力，绿洲面积可超过60%.
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，经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an+1，求证：an+1＝
an＋
．
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an＋
．
,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证：an+1=
an+
；
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an+
.