题目内容
某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1999年底全县的绿化率已达到30%,从1999年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%被栽上树,改造成绿洲,而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:an+1=
an+
;
(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%?
解:(1)设1999年底沙漠面积为b1,经过n年沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1且an+bn=1.
因为绿洲面积an+1由两部分组成,一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀掉的面积an-an=
an;另一部分是新绿洲面积
bn,
∴an+1=an+
bn=
an+
(1-an),
即an+1=an+
.
(2)∵an+1-=
(an-
),
∴{an-}是公比为
的等比数列.
∴an-=(a1-
)×(
)n-1=-
×(
)n-1.
∴an=-
×(
)n-1.
令an≤60%<an+1,即-
×(
)n-1≤
<
-
×(
)n,
得()n<
≤(
)n-1,
两边取对数得nlg<lg
≤(n-1)·lg
,
则<n≤
+1,
=
≈4.1.
∴4.1<n≤5.1.
答:约经过6年的努力,绿洲面积可超过60%.

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