Question

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点M(1 ， 

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解法一由椭圆的定义知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得到a=2，又c=1根据a，b，c的关系b²=a²-c²=3故得到a=2，b=

3

，进而可得答案；
解法二利用待定系数法设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，将M点的坐标代入得

12

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1又a²=b²+1所以可得a²=4，b²=3，进而可得答案；
（2）点P在椭圆上即

m2

4

+

n2

3

=1所以m2+n2＞

m2

4

+

n2

3

=1，所以圆心到直线的距离小于半径r，所以直线l与圆O相交．所以弦长l=L=2

1-d2

=2

1- 1 1 4 m2+3

又0≤m²≤4所以

2 6

3

≤L≤

3

．

解答：解：（1）解法一：设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由椭圆的定义知：2a=

(1+1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4 ， c=1 ， b2=a2-c2=3
得a=2，b=

3

故C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
解法二：设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依题意，a²=b²+1①，将点M(1，

3

2

)坐标代入得

12

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以

m2

4

+

n2

3

=1，则m2+n2＞

m2

4

+

n2

3

=1，
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，
所以直线l与圆O相交．
直线l被圆O所截的弦长为L=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 m2+3(1- m2 4 )

=2

1- 1 1 4 m2+3

∵0≤m2≤4∴3≤

1

4

m2+3≤4，

1

4

≤

1

1 4 m2+3

≤

1

3

，∴

2 6

3

≤L≤

3

．

点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆中的相关数值，灵活运用定义，待定系数等方法解决相关问题，利用直线与圆的位置关系求弦长的范围．