Question

已知三个正整数2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（1）求a的值；
（2）若等差数列{a_n}的首项、公差都为a，等比数列{b_n}的首项、公比也都为a，前n项和分别为S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞S_n-130，求满足条件的正整数n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用2a，a²+3是正整数，可得a是正整数，利用基本不等式可得a²+3＞2a＞1，因此可得2a是a²+3与1的等差中项，即可得出；．
（2）利用a=2和等差数列、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵2a，a²+3是正整数，∴a是正整数，
∵a²+3＞2a＞1，
∴2×2a=a²+3+1，解得a=2．
（2）∵a=2，∴Sn=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n；
T_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2，
∵

Tn+2

2n

＞S_n-130，∴

2n+1-2+2

2n

＞n²+n-130，
化为n²+n-132＜0，∴-12＜n＜11，
∵n是正整数，∴n的最大值是10．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式及其通项公式是解题的关键．