题目内容

设双曲线 $数学公式$ -y²=1的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP （O为坐标原点）分别交于Q和R两点．
（1）证明：无论P点在什么位置，总有| $数学公式$ |²=| $数学公式$ • $数学公式$ |；
（2）设动点C满足条件： $数学公式$ = $数学公式$ （ $数学公式$ + $数学公式$ ），求点C的轨迹方程．

解：（1）设OP：y=kx与AR：y= $\text{[math]}$ 联立，解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理可得 $\text{[math]}$ ，所以| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ =（m，n），则由双曲线方程与OP方程联立解得 $\text{[math]}$ ，
所以| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |（点在双曲线上，1-4k²＞0）；
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴点C为QR的中点，设C（x，y），
则有 $\text{[math]}$ ，消去k，可得所求轨迹方程为x²-2x-4y²=0（x≠0）．
分析：（1）设OP：y=kx与AR：y= $\text{[math]}$ 联立，解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ，所以| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，由此知| $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |．
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），知点C为QR的中点，设C（x，y），有 $\text{[math]}$ ，消去k，可得所求轨迹方程．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．