题目内容
【题目】设函数是定义域为
的奇函数.
(1)若,求使不等式
对一切
恒成立的实数
的取值范围;
(2)若函数的图象过点
,是否存在正数
,使函数
在
上的最大值为0?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
(1)由f(1)>0得a又a>0,求出a>1,判断函数的单调性f(x)=ax﹣a﹣x为R上的增函数,不等式整理为x2﹣(k+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,利用判别式法求解即可;
(2)把点代入求出a=2,假设存在正数m,构造函数设s=2x﹣2﹣x则(2x﹣2﹣x)2﹣m(2x﹣2﹣x)+2=s2﹣ms+2,对底数m进行分类讨论,判断m的值.
(1) ,由
得
,又
∴
.
∵ ,函数
是奇函数,∴
∵ 在
上为增函数,即
对一切
恒成立,
即 在
恒成立,有
,∴
得 ,所以
的取值范围是
(2)假设存在正数符合,∵
过
∴
,
设,
(i) 若,则函数
在
上最小值为1
∵ 对称轴 ,
(舍)
(ii) 若,则
在
上恒成立,且最大为1,最小值大于0
①
此时,
故不合题意
②无解
综上所述,不存在正数满足条件。
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