Question

已知两圆相交于点A（1，3），B（m，-1），两圆的圆心均在直线x-y+c=0上．
（1）求弦AB所在直线的方程；
（2）若其中一个圆的圆心在y轴上，求该圆的方程．

Answer 1

分析：（1）求出AB的中点，中点在直线x-y+c=0上，得到一个方程，利用两条直线垂直，得到另一个方程，即可求出m，c，可得弦AB所在直线的方程；
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x-y-2=0上，又由题设知，所求圆的圆心E（0，-2），求出半径，即可得到圆的方程．

解答：解：（1）由于AB的中点C(

m+1

2

，1)在x-y+c=0上，得m=-2c+1①
又由直线AB与直线x-y+c=0垂直，得m-1=4②
联立①②解得m=5，c=-2，∴弦AB所在直线的方程为x+y-4=0．
（2）由（1）知，两圆的圆心均在直线x-y-2=0上，又由题设知，
所求圆的圆心E（0，-2）半径r²=|EA|²=26，
故所求的圆的方程为x²+（y+2）²=26．

点评：本题是基础题，考查两条直线的位置关系，圆的方程的求法，本题的关键在于中点在直线上，垂直关系的应用，确定圆心和半径，即可解决问题．