题目内容

已知线段AB的端点B的坐标是(-1,0),端点A在圆(x-7)2+y2=16上运动,
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)点C(2,a),若过点C且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求a的值及切线方程.
分析:(1)设出A,M坐标,利用M为线段AB中点,确定A,M坐标之间的关系,根据点A在圆(x-7)2+y2=16上运动,可得线段AB中点M的轨迹方程;
(2)设出切线方程,利用直线与圆相切,可求a的值及切线方程.
解答:解:(1)设A(m,n),M(x,y),则
∵M为线段AB中点,
x=
m-1
2
y=
n
2
,∴
m=2x+1
n=2y

又点A在圆(x-7)2+y2=16上运动,
∴(2x+1-7)2+(2y)2=16,
即(x-3)2+y2=4.
∴点M的轨迹方程为:(x-3)2+y2=4;                         …(6分)
(2)设切线方程为:y=
a
2
x
和x+y=2+a…(9分)
|3a|
a2+4
=2
|1-a|
2
=2

解得:a=±
4
5
5
a=1±2
2
…(11分)
∴切线方程为y=±
2
5
5
x
x+y=3±2
2
.…(13分)
点评:本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查代入法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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