Question

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
（3）若该校决定在第4，5 组中随机抽取2名学生接受考官A的面试，第5组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）先求出其它组的频率，由此能求出第四组的频率，并能作出频率分布图．
（2）依题意优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，由此能求出从这5人中选2人至少有1人是优秀的概率．
（3）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人，ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（1）其它组的频率为
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四组的频率为0.2，
频率分布图如图：…（3分）
（2）依题意优秀与良好的人数比为3：2，
所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，
记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件A，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C22

C52

=

9

10

．…（6分）
（3）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人，
ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=

C 2 8

C 2 12

=

14

33

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 1 4

C 2 12

=

16

33

，
P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 12

=

1

11

…（9分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	14 33	16 33	1 11	…（10分）

∴E(ξ)=0×

14

33

+1×

16

33

+2×

1

11

=

2

3

…（12分）

点评：本题考查频率的求法和频率分布直方图的作法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的知识的合理运用．