Question

关于函数y=f（x），有下列命题：
①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=

x2+ax+1

的定义域为R；
②若f（x）=log

1

2

（x²-3x+2），则f（x）的单调增区间为（-∞，

3

2

）；
③函数f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1；
④定义在R上的函数f（x），若对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x） 则4是y=f（x）的一个周期．
其中真命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用被开方数为非负数，可得x²+ax+1≥0，根据当a∈[-2，2]时，△=a²-4≤0，可知结论正确；
②确定函数的定义域，内函数的对称轴，即可得到f（x）的单调增区间；
③函数f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则真数可以取到一切正实数；
④先确定f（2+x）=f（-x），f（2-x）=f（x），进而可得f（2+x）=f（2-x），即f（4+x）=f（x），故可得结论．

解答：解：①f（x）=

x2+ax+1

的定义域为{x|x²+ax+1≥0}，设t=x²+ax+1，当a∈[-2，2]时，△=a²-4≤0，∴x²+ax+1≥0的解集是R，故函数f（x）=

x2+ax+1

的定义域为R，故①正确；
②f（x）=log

1

2

（x²-3x+2）的定义域是{x|x²-3x+2＞0}，即{x|x＜1，或x＞2}，对称轴是x=

3

2

，
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1），故②不正确；
③函数f(x)=loga(x+

a

x

-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则真数可以取到一切正实数，所以2

a

-4≤0，所以实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1，故③正确；
④∵对任意的x∈R都有：f（1+x）=f（1-x），∴f（2+x）=f（-x），f（2-x）=f（x），∵f（-x）=-f（x），∴f（2+x）=f（2-x）
∴f（4+x）=f（x），∴4是y=f（x）的一个周期．
综上知，正确命题的序号为：①③④
故答案为：①③④

点评：本题考查命题的真假的判断和应用，是中档题．解题时要认真审题，注意函数的定义域、单调性、值域和周期性的合理运用．