题目内容

设函数f(x)=
0,                   x=0
xln|x|+mx2,x≠0
,其中实数m为常数.
(Ⅰ)求证:m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件;
(Ⅱ) 已知函数f(x)为奇函数,当x,y∈[0,e]时,求表达式z=yf(x)+xf(y)的最小值.
分析:(Ⅰ)m的取值应使得任意x≠0,恒有f(-x)=-f( x),可以将m=0代入后从充分、必要两个方面验证.或利用函数恒成立求出m的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)当xy=0时,z=yf(x)+xf(y)=0,当x,y∈(0,e]时,z=yf(x)+xf(y)=yxlnx+xylny=xyln(xy)=f(xy),设t=xy∈(0,e2],换元后z=f(t)=tlnt,利用函数与导数的关系求解.
解答:(Ⅰ)证明:证法一:充分性:若m=0,则f(x)=
0,          x=0
xln|x|,  x≠0
.…(1分)
①f(-0)=-f(0)=0;…(2分)
②当x≠0时,
f(-x)=(-x)ln|-x|=-xln|x|=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.…(3分)
必要性:若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f( x)恒成立,
①当x=0时,易知成立,
②当x≠0时,f(-x)=(-x)ln|-x|+m(-x)2,f(x)=xln|x|+mx2
∴m(-x)2=-mx2,2mx2=0,m=0.
故m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件.…(6分)
(Ⅰ)证法二:因为f(-0)=-f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数的充要条件是?x≠0,f(-x)=-f(x)??x≠0,(-x)ln|-x|+m(-x)2=-xln|x|-mx2??x≠0,2mx2=0?m=0.
故m=0是函数f(x)为奇函数的充要条件.…(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,则f(x)=
0,          x=0
xln|x|,  x≠0

①当xy=0时,z=yf(x)+xf(y)=0.…(7分)
②当x,y∈(0,e]时,z=yf(x)+xf(y)=yxlnx+xylny=xyln(xy)=f(xy),…(8分)
设t=xy∈(0,e2],z=f(t)=tlnt,f'(t)=lnt+1.…(9分)
f(t),f'(t)随t的变换而变化的情况如下:
t (0,
1
e
)
1
e
(
1
e
e2]
f'(t) - 0 +
f(t) 单调递减 极小值 单调递增
…(10分)
f(t)的极小值,也为最小值f(
1
e
)=-
1
e
<0
,(11分)
所以zmin=-
1
e
.…(12分)
点评:本题考查函数奇偶性的判断,函数恒成立参数求解,分段函数.利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,属于中档、常规题.涉及到了换元、分类讨论的思想方法.
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