Question

从原点出发的某质点M，按向量

a

=(0，1)移动的概率为

2

3

，按向量

b

=(0，2)移动的概率为

1

3

，设M可到达点（0，n）（n=1，2，3，…）的概率为P_n．
（1）求P₁和P₂的值；
（2）求证：Pn+2-Pn+1=-

1

3

(Pn+1-Pn)；
（3）求P_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）P₁为到达点（0，1）的概率，要到达（0，1）只有按向量

a

移动才可能，故P₁=

2

3

P₂为到达点（0，2）的概率，要到达（0，2）有两种方法，第一种直接按向量

b

可到达；第二种两次都按向量

a

走．
故P2=

2

3

•

2

3

+

1

3

．
（2）找出P_n+2、P_n+1、P_n的关系即Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn，即可得到答案．
（3）构造新数列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁为首项，-

1

3

为公比的等比数列，由等比数列求和可得答案．

解答：解：（1）P₁=

2

3

，P2=(

2

3

)2+

1

3

=

7

9

（2）证明：M点到达点（0，n+2）有两种情况
①从点（0，n+1）按向量

a

=（0，1）移动
②从点（0，n）按向量

b

=（0，2）移动
∴Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn
∴Pn+2-Pn+1=-

1

3

 (Pn+1-Pn)
问题得证．
（3）数列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁为首项，-

1

3

为公比的等比数列
Pn+1-Pn=(P2-P1)(-

1

3

)n-1=

1

9

(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1
∴P_n-P_n-1=(-

1

3

)n
又因为P_n-P₁=（P_n-P_n-1）+（P_n-1-P_n-2）+…+（P₂-P₁）
=(-

1

3

)n+(-

1

3

)n-1+…+(-

1

3

)2
=

1

12

[1-(-

1

3

)n-1]
∴P_n=P_n-P₁+P₁
∴Pn=

1

4

×(-

1

3

)n+

3

4

．

点评：本题主要考查构造等比数列的方法．等比数列是高考中必考题，有时题中的数列不是等比的，要通过自己构造新的数列使之成为等比数列进而解题．