Question

选修4～4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（I）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；
（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-7=0．
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，故可设t₁，t₂是上述方程的两根，
所以

t1+t2=-2(cosα-sinα) t1•t2=-7

又直线l过点（1，2），
故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

4(cosα-sinα)2+28

=

32-4sin2α

≥

32-4

=2

7

．
所以|PA|+|PB|的最小值为2

7

．

点评：此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．