题目内容

对于函数 f（x） 中任意的 x1、x2（x1≠x2）有如下结论：
①f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）；           
②f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）；
③f（-x1）=
1
f(x1)
；     
④
f(x1)-1
x1
＜0 （x1≠0）；     
⑤
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0．
当 f（x）=2x时，上述结论中正确结论的个数是（　　）
A、2个B、3个C、4个D、5个
分析：利用指数函数的性质对①②③④⑤逐个讨论分析即可求得答案．
解答：解：①∵f（x）=2x，
∴f（x1•x2）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x1）+f（x2），故①错误；
②f（x1+x2）=2x1+x2=2x1•2x2=f（x1）•f（x2），故②正确；
③f（-x1）=2-x1=
1
2x1
=
1
f(x1)
，故③正确；
④∵k=y′=2xln2＞0（k为曲线f（x）=2x上任意两点的连续的斜率），
∴
f(x1)-1
x1
=
f(x1)-f(0)
x1-0
＞0，故④错误；
⑤由k=y′=2xln2＞0得，k=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，故⑤正确．
综上所述，当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的个数是②③⑤，
故选：B．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查指数函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0；④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
当f（x）=2-x时，上述结论中正确结论的序号是
 
写出全部正确结论的序号）
对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）=x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点． 由此，函数f(x)=
9x-5x+3
的图象上不动点的坐标为
 
．
对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）②f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，当f(x)=log
1
2
x时，上述结论中正确的序号是
③④
③④
（写出全部正确结论的序号）
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）当a=1，b=-2求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令g(x)=
1
x+2
+loga 
1+x
1-x
，解关于x的不等式g[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．
对于函数f（x）=x3cos3（x+
π
6
），下列说法正确的是（　　）

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