题目内容

已知曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，它的右准线方程l：x＝，l与x轴交于E，一条渐近线方程是y＝x，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦．

(1)求曲线C的方程；

(2)若R为PQ中点，且在直线l的左侧能作出直线m：x＝a，使点R在直线m上的射影S满足＝0，当P在曲线C上运动时，求a的取值范围；

(3)若过P作PM∥x轴交l于M，连MQ交x轴于H，求证H平分EF．

答案：
解析：

　　(1)x2－＝1　(x≥1)　　4分

　　(2)·＝0即PS⊥QS，|RS|＝|PQ|　　6分

　　2[－a]＝e(x1－)＋e(x2－)

　　x1＋x2＝2－2a，又x1＋x2≥4　　∴a≤－1　　10分

　　(3)PQ⊥x轴时，P(2，3)Q(2，－3)　　M(，3)

　　MQ方程y＝－4x＋5　令y＝0，xH＝＝(xE＋xF)　　12分

　　PQ不垂直于x轴时，M(，y1)　Q(x2，y2)　P(x1，y1)

　　PQ方程

　　(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0

　　

　　MQ方程y－y1＝(x－)

　　令y＝0　　　14分

　　即证：

　　展开得　即证：5(x1＋x2)－4x1x2－4＝0

　　将代入恒成立

　　即MQ恒过(，0)点，即H为EF的中点

　　综上获证　16分


练习册系列答案
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已知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=
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x2的焦点，离心率等于
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（1）求椭圆C的方程；
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OA
•
OB
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曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，已知它的右准线方程为l：x=
1
2
，一条渐近线方程是y=
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x，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（1）求曲线C的方程；
（2）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；
（3）若在直线l的左侧能作出直线m：x=a，使点R在直线m上的射影S满足
PS
•
QS
=0．当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围．
曲线C是中心在原点，焦点为（2，0）的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=
3
x．线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（I）求曲线C的方程；
（II）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值．
（2008•宁波模拟）曲线C是中心在原点，焦点为F(
5
，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=
1
2
x．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且
EP
•
ER
=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

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