题目内容

(07年福建卷理)(本小题满分12分)如图,正三棱柱的所有棱长都为中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求点到平面的距离.

本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解析:解法一:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

正三棱柱中,平面平面

平面

连结,在正方形中,分别为

的中点,

在正方形中,

平面

(Ⅱ)设交于点,在平面中,作,连结,由(Ⅰ)得平面

为二面角的平面角.

中,由等面积法可求得

所以二面角的大小为

(Ⅲ)中,

在正三棱柱中,到平面的距离为

设点到平面的距离为

到平面的距离为

解法二:(Ⅰ)取中点,连结

为正三角形,

在正三棱柱中,平面平面

平面

中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则

平面

(Ⅱ)设平面的法向量为

为平面的一个法向量.

由(Ⅰ)知平面

为平面的法向量.

二面角的大小为

(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,

      

       到平面的距离

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