Question

给出平面几何的一个定理：底边长和腰长都确定的等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值．将此结论类比到空间，写出在三棱锥中类似的结论为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何性质，类比推理空间几何体的性质，一般是：由点的性质类比推理线的性质，由线的性质类比推理面的性质，由面的性质类比推理体的性质．

解答：解：设等腰三角形ABC的底边BC=a和腰AB=AC=b确定，
则它的高h确定，设P是底边BC上任一点，P到两腰的距离分别为h₁，h₂，
由面积分割得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
即

1

2

ah=

1

2

b(h1+h2)，故h1+h2=

a

b

h为定值．
类似地，设正三棱锥S-ABC的底面边长和棱长确定，
则它的高h确定，底面积S确定，一个侧面的面积S'也确定，
设P是底面ABC上任一点，P到到三个侧面的距离分别为h₁，h₂，h₃，
由体积分割得：V_S-ABC=V_P-SAB+V_P-SBC+V_P-SAC，
即

1

3

Sh=

1

3

S′(h1+h2+h3)，故h1+h2+h3=

S

S′

h为定值．
故答案为：底面边长和侧棱长都确定的底面上任意一点到三个侧面的距离之和为定值

点评：本小题是一道类比推理问题，主要考查创新思维能力．事实上，平面几何中的不少定理、结论都可以类比推广到空间中去，值得我们进一步去探索和研究．