题目内容
（2012•商丘三模）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
分析：（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2-c2，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得
•
=0，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
| 2 |
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得
| CA |
| CB |
解答：解：（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4
，即a+c=3+2
，…（1分）
又椭圆的离心率为
，即
=
，…（2分）
所以a=3，c=2
，
所以b2=a2-c2=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为
+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由
消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-
，y1y2=
．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以
•
=0．…（7分）
由
=(x1-3，y1)，
=(x2-3，y2)，得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×
+k(m-3)×(-
)+(m-3)2=0
解得 m=
，或m=3．…（12分）
| 2 |
| 2 |
又椭圆的离心率为
2
| ||
| 3 |
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
所以a=3，c=2
| 2 |
所以b2=a2-c2=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为
| x2 |
| 9 |
（Ⅱ）由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-
| 2km |
| k2+9 |
| m2-9 |
| k2+9 |
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以
| CA |
| CB |
由
| CA |
| CB |
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×
| m2-9 |
| k2+9 |
| 2km |
| k2+9 |
解得 m=
| 12 |
| 5 |
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．
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