题目内容
已知函数f（x）=x3-ax2-9x-6（x∈R），l是曲线y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数a的值．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数a的值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求l的方程；
（Ⅱ）根据切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，结合导数的应用即可求实数a的值．
（Ⅱ）根据切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，结合导数的应用即可求实数a的值．
解答：
解：（I）f（x）=x3-ax-9x-6，f（-1）=2-a，切点（-1，2-a），
f′（x）=3x2-2ax-9，f′（-1）=2a-6，切线斜率为2a-6，切点P（0，1），则斜率k=-1，
则切线方程为y-（2-a）=（2a-6）（x+1），即y=（2a-6）x+a-4．
（II）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价x3-ax2-9x-6=（2a-6）x+a-4，即x3-ax2-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一个实数解，
令h（x）=x3-ax2-（2a+3）x-（a+2），则方程h（x）=x3-ax2-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一个实数解，
∵h（-1）=-1-a+（2a+3）-（a+2）=0，∴h（x）=0有一个解x=-1，
h′（x）=3x2-2ax-（2a+3）=（x+1）[3x-（2a+3）]，
令h′（x）=0，解得x=-1或x=
．
①
=-1即a=-3时，h′(x)=3(x+1)2≥0，h(x)在(-∞，+∞)上单调递增，
∴x=-1是方程h（x）=0的唯一解；
②
＞-1即a＞-3时，h′(x)=0二根x1=-1，x2=
＞-1．
∴h（
）＜h（-1）=0，当x→+∞，h（x）→+∞，
∴方程h（x）=0在（
，+∞）上还有一个解，故h（x）=0的解不唯一．
③
＜-1即a＜-3时，h′(x)=0二根x1=-1，x2=
＜-1．
∴h（
）＞h（-1）=0，当x→-∞，h（x）→-∞，
∴方程h（x）=0在（（-∞，
）上还有一个解，故h（x）=0的解不唯一．
综上若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，则a=-3．
f′（x）=3x2-2ax-9，f′（-1）=2a-6，切线斜率为2a-6，切点P（0，1），则斜率k=-1，
则切线方程为y-（2-a）=（2a-6）（x+1），即y=（2a-6）x+a-4．
（II）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价x3-ax2-9x-6=（2a-6）x+a-4，即x3-ax2-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一个实数解，
令h（x）=x3-ax2-（2a+3）x-（a+2），则方程h（x）=x3-ax2-（2a+3）x-（a+2）=0有且只有一个实数解，
∵h（-1）=-1-a+（2a+3）-（a+2）=0，∴h（x）=0有一个解x=-1，
h′（x）=3x2-2ax-（2a+3）=（x+1）[3x-（2a+3）]，
令h′（x）=0，解得x=-1或x=
| 2a+3 |
| 3 |
①
| 2a+3 |
| 3 |
∴x=-1是方程h（x）=0的唯一解；
②
| 2a+3 |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
| x | （-∞，0） | -1 | |||
| + | 0 | - | 0 | + | |
| 极大值0 | 极小值 |
| 2a+3 |
| 3 |
∴方程h（x）=0在（
| 2a+3 |
| 3 |
③
| 2a+3 |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
| x | -1 | ||||
| + | 0 | - | 0 | + | |
| 极大值 | 极小值0 |
| 2a+3 |
| 3 |
∴方程h（x）=0在（（-∞，
| 2a+3 |
| 3 |
综上若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，则a=-3．
点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，考查学生的运算能力．
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D、an=
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