题目内容

已知设函数f(x)=sinxcosx-
3
cos2x
(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函数g(x)=f(x-
π
4
)+
3
2
,求y=g(x)在[0,
π
4
]
上的最大值.
分析:(1)利用两角和与差的正弦函数将f(x)化简为:f(x)=sin(2x-
π
3
)-
3
2
即可求f(x)的最小正周期;
(2)可求得g(x)=sin(2x-
6
),利用正弦函数的性质即可求其再[0,
π
4
]上的最大值.
解答:解:(1)f(x)=
1
2
sin2x-
3
cos2x
=
1
2
sin2x-
3
2
(1+cos2x)
=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x-
3
2

=sin(2x-
π
3
)-
3
2

故f(x)的最小正周期为T=
2
=π.
(2)依题意g(x)=f(x-
π
4
)+
3
2

=sin[2(x-
π
4
)-
π
3
]-
3
2
+
3
2

=sin(2x-
6
).
当x∈[0,
π
4
]时,2x-
5
6
π
∈[-
6
,-
π
3
],故-1≤g(x)≤-
1
2

所以g(x)在[0,
π
4
]上的最大值为g(0)=-
1
2
点评:本题考查两角和与差的正弦函数,考查正弦函数的单调性与最值,考查三角函数性质的综合应用,属于中档题.
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