Question

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N^*）
（1）设完成A 型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？
（本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解和应用意识）

Answer 1

解：（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间（其中x∈N*，且1≤x≤49）；
设完成全部生产任务所需时间h（x）小时，则h（x）为f（x）与 g（x）的较大者，
令f（x）≥g（x），则，解得，
所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．
故；
当1≤x≤32时，，故h（x）在[1，32]上单调递减，
则h（x）在[1，32]上的最小值为（小时）；
当33≤x≤49时，，故h（x）在[33，49]上单调递增，
则h（x）在[33，49]上的最小值为（小时）；
∵h（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值为h（32），
∴x=32为所求．
所以，为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32．
分析：（1）生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f（x）=，代入数据整理即可；
（2）生产150件产品，需加工B型零件150个，同理可得完成B型零件加工所需时间g（x）；
完成全部生产任务所需时间h（x），是f（x）与 g（x）的较大者；故令f（x）≥g（x），得；
所以，当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．
即；求得函数h（x）的最小值即可．
点评：本题主要考查了函数的最值、不等式、导数及其应用等基础知识，也考查了分段函数的应用，以及运算求解和应用意识，属于中档题．