Question

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x元（8≤x≤9）时，一年的销售量为（10-x）²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）根据一年的利润=每件的利润×销售的件数可求出L（x）的解析式；
（2）令L′（x）=0得到函数的驻点，讨论x的范围求得韩函数的最大值即可；

解答：解：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为
L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[8，9]；
（2）L′（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=10（舍去）．
∵1≤a≤3，∴

20

3

≤6+

2

3

a≤8．所以L（x）在x∈[8，9]上单调递减，
故L_max=L（8）=（8-4-a）（10-8）²=16-4a．即M（a）=16-4a．
答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为16-4a万元．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及利用导数求闭区间上函数最值的能力．