Question

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：

①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导函数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.

（1）判断函数f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；

（2）集合M中的元素f(x)具有下列性质：

若f(x)的定义域为I，则对于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］,使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

    请利用这一性质证明：方程f(x)-x=0有唯一的实数根；

（3）若存在实数x₁,使得m中元素f(x)定义域中的任意实数a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立.证明：|f(b)-f(a)|＜2

Answer 1

解：（1）f′(x)=+cosx=(2+cosx),由于1≤2+cosx≤3,

∴0＜≤(2+cosx)≤＜1,

    又f(x)-x=0sinx-x=0sinx=2x,

    由于该方程有实数根x=0,

∴f(x)是集合m中的元素.

（2）由集合m的定义可知，集合m中的元素f(x)一定能使方程f(x)-x=0有实根。下面用性质证明解的唯一性。

    假设f(x)-x=0的实根多于一个，设x₁、x₂皆为该方程的实根，且x₁≠x₂，不妨设x₁＜x₂,

    则f(x₁)=x₁,f(x₂)=x₂,且［x₁,x₂］I.

∴存在x₀∈［x₁,x₂］,使f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)·f′(x₀)=x₂-x₁,

∴f′(x₀)=1这与已知f′(x)＜1矛盾.

∴方程f(x)-x=0有唯一实数根.

（3）证明：不妨设a＜b，由于f(x)是m中的元素，

∴0＜f′(x)＜1,∴f(x)为增函数，∴f(a)＜f(b).

    令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1,∵f′(x)＜1,

∴F′(x)＜0,即F(x)为减函数，F(a)＞F(b),

    而f(a)-a＞f(b)-b,f(b)-f(a)＜b-a,

∴|f(b)-f(a)|=f(b)-f(a)＜b-a＜b-x₁+x₁-a≤|b-x₁|+|x₁-a|,

    又|b-x₁|＜1,|a-x₁|＜1,

∴|f(b)-f(a)|＜2.