Question

已知圆C与直线x+y-2

2

=0相切于点A(

2

，

2

)，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过A作两条斜率分别是2和-2的直线，且分别与圆C相交于B、D两点，求直线BD的斜率．

Answer 1

分析：（1）确定圆的圆心坐标，再求出圆的半径，即可得到圆的方程；
（2）先假设直线方程，分别与圆联立，求得B，D的坐标，进而可求BD的斜率．

解答：解：（1）设过点A(

2

，

2

)与直线x+y-2

2

=0垂直的直线为：x-y+m=0，
将A(

2

，

2

)代入x-y+m=0，得m=0，
∴x-y=0，
由于圆C与直线x+y-2

2

=0相切于点A(

2

，

2

)，所以圆心在直线x-y=0上，
又圆心在直线y=-2x上，所以圆心坐标为（0，0），所求圆C的方程为x²+y²=4…（4分）
（2）设直线AB、AD斜率分别为2、-2，则直线AB为：y-

2

=2(x-

2

)即y=2x-

2

代入方程x²+y²=4，并整理得，5x2-4

2

x-2=0，解得xB=-

2

5

，yB=-

7 2

5

直线AD为：y-

2

=-2(x-

2

)即y=-2x+3

2

代入方程x²+y²=4，并整理得，5x2-12

2

x+14=0，解得xD=

7 2

5

，yD=

2

5

∴k_BD=1…（10分）

点评：本题以直线与圆相切为载体，考查圆的方程的求解，考查直线与圆相交，解题时联立方程组是关键．